CPLの学習帳

何の変哲もない勉強日記

いろいろな運動

いろいろな運動、ということで、何がいろいろかというと等速直線運動や等加速度運動や自由落下運動や放物運動をやるわけなんですけど、このあたりは特にややこしく考える必要はなくて。

等速直線運動と等加速度運動が分かれば自由落下運動が理解できたも同然ですし、放物運動だって図を使って水平方向と鉛直方向に分解してやれば結局やってることは同じなんですよね。

なので、ここはそこまで苦労しませんでした。

 

問題なのは次です。出ました、等速円運動。

 

僕はこの章を勉強した当初は三角関数をまだやっていなくて、慌てて弧度法というものを覚えたんですけど、それを理解していてもなお等速円運動には苦しめられました。

 

向心力とか何とか、ちょっと新しい概念が一度に流れ込みすぎです。

それで、本当はちょっと詳しい感想とか書きたいんですけど、疲れました。

感想を書くには数式を使わなければいけなくて、数式をここで表示させるには言わずもがなTeXの記法を使用する必要があるんですけど、ちょっと複雑だったり長い数式を書くのにいちいち調べながらやらなきゃいけないのは、はっきり言って面倒。

楕円とか登場するので、ややこしいことこの上ないです。

 

なので全部カット。

すみません。

 

でもやってて楽しかったのは事実です。

ケプラーの法則とか、万有引力の話とか、いろいろ出てきますからね。

 

で、等速円運動を無事こなしたら、ばね振り子とか単振り子とかの、単振動に進むわけですが。

一度円運動に慣れてしまえば、ここはそんなに難しいものでもないですね。少なくとも高校の範囲では。

 

さて、数学と物理って、似てる部分もあるんですけど、もちろん違っていて。

たとえるならば数学はファンタジー、物理はノンフィクションみたいな。

素人の目から見た感想ですので、もしかしたらその道のプロ的には「全然違うじゃないか!」ってなるかもしれませんが。

 

数学はファンタジーだから、異世界の言葉を一生懸命翻訳して紙に起こす感じです。なのでいろいろ想像してたくさん語れる。

物理はノンフィクションだから、テキストに書いてあることがすべて。事実。

だから自分が入る余地がなくて、やってて楽しいけどあまり語れないんです。

 

うーん。何が言いたいんだろう、僕。

物理をやっていると息を呑むほど感動することがとても多いです。

この世界のあれこれ、一見ランダムに見えるようなものを、数式で表せると知った時はにやけてしまいますね。

心臓が、比喩ではなく本当にドキドキしてきます。

でも、残念ながら僕にはその感動を言葉にする術がない。

 

僕の使っている数学のテキストには「証明を考えてみましょう」みたいな誘導が結構あるので、自分の考えた証明をここに書いたりとか、分からないことを誰かに質問したりとかできます。

それで書くことも自ずと増えていくんですけど、物理はただ、自分の想像もつかないようなスケールの話が多くて、茫然と突っ立っている感じです。

 

その突っ立ってしまう感覚が好きだから僕は物理を選んだわけなんですが、何しろ突っ立ってばかりではブログに何も書けなくて。

 

すごく、すごくもどかしいです。

 

結局、今回勉強した内容も、楽しかったんですよ。

楽しかったけど、語彙力がなくて何も書けない。

腐女子が推しを見て「尊い」以外の感情をなくすのに近いです。なんてね。

 

なので、物理をやると逆にすごく内容の薄いブログになってしまうのですが。

 

好きなんだな。やっぱり。

いろいろ知りたい。

 

そういうわけで、これから物理を頑張っていきたいと、そう思います。

ではでは。

分数関数と無理関数

どうもCPLです。

ブログの更新をさぼっていたので、過去に勉強した分ではありますがまたこれからちょくちょく載せていきますよ。

 

分数関数と無理関数をやったのはどれくらい前だったか。

もう忘れてしまいましたが、復習がてらテキストを見てみます。

 

高校レベルの分数関数は、グラフをかいたり簡単な文章題を解く分にはそんなに難しくないですね。

1次分数式で表される関数しか出てこないので。

そのため、特に引っかかることもなくスムーズに進みました。

 

少々厄介なのが無理関数でしょうか。

{\displaystyle}y=\sqrt{ax}は、変形すると{\displaystyle }y^2=axとなり、これはさらに{\displaystyle}x=\frac{1}{a}y^2と変形することができますが、この逆の変形は成り立たないんですね。

最初見たときはしばらく考え込みました。そんな一方通行ってあるの?

結局、{\displaystyle}x=\frac{1}{a}y^2が成り立つとき、{\displaystyle}y=\sqrt{ax}だけでなく{\displaystyle}y=-\sqrt{ax}である可能性が出てきてしまうからみたいですけどね。

 まあ、このあたりは理解に少々時間を要しました。

 

で、グラフをかくと綺麗に表れる定理があって。

関数{\displaystyle}f逆関数{\displaystyle}gをもつとき、関数{\displaystyle}y=f(x)のグラフと{\displaystyle}y=g(x)のグラフは直線{\displaystyle}y=xに関して対称なんですよね。

でもこの定理、グラフを見れば明らかなんですけど、証明はどうしたものかなあと。

要するに、{\displaystyle}(a,b){\displaystyle}y=f(x)上の点⇔{\displaystyle}(b,a){\displaystyle}y=g(x)上の点、ということが言えればいいんでしょうけど、何かうまく説明できない。自明でしょって感じがするんです。僕、自明って言葉あんまり好きじゃないんですけどね。

 

綺麗に説明できる方法を考えてみようかな。

 

残り演習問題でしたが、あまり難解なのは無かった印象です。

でも、無理関数と直線の交点の座標を求めるときに、交点が2つじゃないことがあるので注意が必要ですね。僕は見事に引っかかりましたけど。

 

ということで、主に無理関数の話題でした。

また気が向いたら更新します。

それでは。

写像と2次関数

関数という言葉は中学校の数学から用いられてきましたが、それを抽象化した概念に写像というものがあるそうです。

この写像という考え方を理解するのに、今回は苦労しました。

というかまだいまひとつ分からない。

 

XとYを集合とし、集合Xの各要素をそれぞれ集合Yの各要素に対応させるとき、その対応をXからYへの写像という。

なるほど。

f : X→Yと表すんですね。

 

Xの要素xがYの要素yに対応しているとき、yをfによるxの象といい、y=f(x)で表す。

ふむふむ。

 

で、こんな感じの抽象的な説明が延々と続きます。

よく分からないのが、関数は写像だけど写像は関数とは限らないということ。

写像ではあるけど関数ではない例って何だ。

 

説明はさらに続きます。

合成写像、上への写像、1対1の写像、上への1対1の写像、逆写像

 

合成写像に関しては、簡単なものなら理解できた気がします。

たとえば、f(x)=(x+1)^2g(x)=x+1h(x)=x^2 の合成写像であるということは、なるほどなるほどとすんなり飲み込めました。交換法則は成り立たないらしいということも、何となく分かる。

 

でも、3つの写像の合成写像には結合法則が成り立つことの説明とか、定義域とか値域とか上への写像とか、このあたりになるともう概念が抽象的すぎて理解が及びません。

 

あと、謎なのが逆写像ですね。

例では、g(x)=2x+1の逆写像g^{-1}(y)=\frac{y}{2}-\frac{1}{2}であると書いてありましたが、どうしてこうなったのか分からない。

単純に逆数を取ればいいというものでもなさそうですし、一般的にyとxを入れ替えて書くというのもいまいちピンと来ません。どうして入れ替えてもいいの?

 

とにかく、写像は分からないことが多すぎてあまりハッキリしません。

こんな状態で大丈夫だろうかともやもやしたまま次に進みます。

 

まあ、結果としては高校の2次関数をやる程度なら、写像がよく分かっていなくても問題は解けたんですけどね。

ある定義域における最大値と最小値を求めるくらい簡単なものです。

定義域が移動したり軸が変数になっている問題は割と多くの高校生が苦手とするらしいですが、何と僕はヒントを見ずにすらすらできました。こういうの、素直に嬉しいです。自慢しとこ。

 

テキストでは、章の最後で2次連立方程式が表す領域について触れられていました。

積分をやると、この領域の面積が求められるようになるみたいですね。

早くできるようになりたいのですが、僕は微積にチャレンジして失敗した苦い経験があります。

次は理解できるといいのですが。

 

 苦戦した問題は、今日は特にありませんでした。

ぱっと解法を思いついて、ノートに走るように式を書くのって快感ですね。

手が脳のスピードに追いつかないというやつを体験しました。

 

そろそろ作問もできると楽しそうですね。

中学生の頃の僕は性格が悪かったので、友達に難しい問題を出して相手が頭を悩ませているのが何よりも面白かったです。

そんなだから友達が去っていったのかもしれませんが。

 

関数の分野で、そのうち何か1つくらい問題が作れたらいいなと思いつつ、今日はノートを閉じることにします。

直線と円

 

今日から平面図形と関数の分野に入ります。

まずは直線と円の方程式の章から。

 

といっても前半はあまり難しくありません。2つの点Aと点Bの距離の求め方とか、内分のしかた外分のしかた、重心の求め方など。

説明もスムーズに理解できました。

 

続いて、直線の傾きの求め方や、2直線が垂直であるための条件や平行であるための条件について。

ここも問題なくできました。

 

何か面白い問題があれば紹介したかったのですが、特に興味深いと感じたものがなかったので書くことはありません。残念ながら。

というか面白い問題ややりごたえのある問題があったら教えてもらいたいです。

 

でも1つだけ難しいのがありました。

 xy座標平面上の点P( x_1 , y_1 )と直線ax+by+c=0の距離dの求め方です。

皆さんご存知だとは思いますが、d= \frac{| a x_1 + b y_1 + c |}{ \sqrt{a^2 + b^2}}ですね。

覚えるには難しくない公式ですが、導くのが大変です。

一番簡単なのは幾何学的に証明する方法でしょうか?

点Pから直線に向かって垂線をおろして、足を点Qとします。また点Pからy軸に平行な直線を引いて、もとの直線との交点を点Rとします。

それから、直線上に任意の点を2つとって直角三角形を作ります。

この直角三角形と三角形PQRが相似であることを利用すると証明できますね。

 

もしくは、問題を簡単にするために直線と点Pをまるっと平行移動して、点Pを原点に重ねて考えてもいいかもしれません。

 

でも、これらの方法だと直線の方程式のaもbも0でない場合しか成り立たないので困ります。

本当はベクトルを利用するといいみたいですね。ベクトルはテキストの後半で勉強するみたいなので、その時にまた証明を考えてみます。

 

ちなみにですが、この証明問題は阪大文系の入試問題で実際に出たようです。

というわけで今日の僕はちょっと阪大に近づいたぞ。

 

ここでどうでもいい話をすると、この公式をブログに載せたいがために僕はTeXの記法を勉強しました。本音を言うと、便利だけど面倒くさいです。開発者さんごめんなさい。

 

次に、直線の領域と線形計画問題です。

苦手とする人が多いらしいですが、少なくとも高校の範囲でやる線形計画問題はそんなに難しくない感じがしました。いちいちグラフを書かないといけないのが厄介といえば厄介ですが。

ところで、線形ってどっかで聞いたような。そう、線形代数です。ということはこれって、本来はベクトルや行列を用いて考える問題なんでしょうか。

問題を解くためのアルゴリズムなんかも存在するみたいですし、奥が深いです。

 

最後に、円の方程式を勉強しておしまいです。

余談ですが、僕は円の方程式は中学2年生のときに既に知っていました。すごいだろ。いや自慢にはならないですが。

当時は数学の授業が面白くなかったので、先生の話を聞かずにグラフ用紙に適当な図形を描いては、その図形を表す方程式を求めるのを楽しみにしていたのです。変な趣味ですね。そのときに、円の方程式も求めたというわけです。確か三平方の定理を使ったはずです。

 

で、高校数学大したことねえなと当時の僕は思ったわけですが、実際のところこれが結構難しい。

 

ということで、苦戦した問題を1つ載せて今日は終わります。

 

xy座標平面上で、点 A(-2,0) を通る動直線lとy軸との交点をPとし、半直線AP上にAP・AQ=4となる点Qをとるとき、点Qはどのような図形を描いて動くか。

 

問題を解くのが大変だったというのもありますし、解法が分かったところで上手く論述できなかったのでモヤモヤしています。

もし時間のある方がいたら解いてみてください。

それでは。